Niemal 120 lat temu pewien naukowiec wywrócił do góry nogami nasze wyobrażenia o przestrzeni i czasie. Pokazał, że tworzą one wspólną, przenikającą cały kosmos tkaninę: trzy wymiary przestrzeni splecione z jednym wymiarem czasu. Kim był ten wizjoner? Wąsatym Hermannem Minkowskim – nauczycielem matematyki Alberta Einsteina. Einstein zaś z czasem wzbogacił płaską „czasoprzestrzeń Minkowskiego” o grawitację, nadając tej kosmicznej tkaninie krzywiznę.
WIDEO…
Trzy wymiary przestrzeni i jeden czasu
Tylko dlaczego Wszechświat ma akurat trzy wymiary przestrzeni i jeden wymiar czasu? W pracy opublikowanej w serwisie arXiv jako preprint, czyli artykuł przed recenzją naukową, trzech fizyków związanych z Instytutem Fizyki Uniwersytetu w Belgradzie w Serbii przeprowadziło symulacje komputerowe losowych geometrii czasoprzestrzeni. Mihailo Đorđević, Igor Prlina i Marko Vojinović wykorzystali do tego wirtualne czterowymiarowe „klocki” (tzw. 4-simpleksy), aby sprawdzić, jak często powstaje z nich znana nam kombinacja trzech wymiarów przestrzeni i jednego wymiaru czasu. Czy im się udało? Tak – choć pod pewnymi warunkami. Poniekąd…
Serbscy fizycy wykorzystali uproszczony model grawitacji kwantowej, w którym pominięto dynamikę, czyli prawa rządzące tym, które geometrie są bardziej, a które mniej prawdopodobne. Badali więc wyłącznie „kinematykę”: jakie układy długości krawędzi w ogóle są możliwe i jak często pojawiają się przy czysto losowym wyborze.
Modele grawitacji kwantowej
Zacznijmy od tego, że istnieją modele grawitacji kwantowej, w których czasoprzestrzeń nie jest gładka, tylko zbudowana z drobnych, płaskich klocków. W 2D to trójkąty, w 3D czworościany, a w 4D tzw. 4-simpleksy (czterowymiarowe odpowiedniki trójkąta i czworościanu). To trochę jak kopuła geodezyjna albo siatka trójkątów w grafice komputerowej. Całą geometrię takiej konstrukcji opisują wyłącznie długości krawędzi. W tych modelach sygnatura nie jest z góry narzucona, tylko wynika z tych długości.
Już w szkole podstawowej uczymy się, że z trzech odcinków można zbudować trójkąt tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego (to tzw. nierówność trójkąta). Autorzy artykułu proponują szersze spojrzenie: z dowolnych trzech długości można ułożyć trójkąt, trzeba tylko dobrać odpowiednią geometrię. Gdy nierówność jest spełniona, wystarczy zwykła płaszczyzna euklidesowa. Gdy nie jest spełniona, rozwiązaniem może być płaszczyzna Minkowskiego, w której jeden wymiar jest przestrzenny, a drugi czasowy.
To wykonalne, ponieważ odległości w czasoprzestrzeni liczy się inaczej niż na kartce papieru: wkład czasu wchodzi do wzoru ze znakiem minus. Dlatego trójkąt na płaszczyźnie Minkowskiego może mieć wszystkie boki „przestrzenne” (o zwykłych, rzeczywistych długościach), a mimo to jeden z nich może być dłuższy niż suma dwóch pozostałych. Odcinki czasowe mają natomiast w tym zapisie długości wyrażone liczbami urojonymi.
Czterowymiarowa kula z brzegiem
Jeśli losujemy trzy długości z przedziału od 0 do 1, to, właśnie tak, jak wyliczyli autorzy, połowa zestawów tworzy zwykłe trójkąty, a połowa trójkąty Minkowskiego. Gdy uwzględnimy również boki czasowe, udział tych drugich rośnie do 87,5 procent. W tym prostym, dwuwymiarowym przypadku sama geometria zdaje się więc sprzyjać czasoprzestrzeni.
Kolejnym krokiem było przeniesienie tego pomysłu do czterech wymiarów. Uczeni wykorzystali 4-simpleksy, czyli czterowymiarowe odpowiedniki czworościanów, z których każdy ma 5 wierzchołków i 10 krawędzi.
Badacze losowali długości krawędzi czterowymiarowych „klocków” z przedziału, którego dolna granica to tzw. odcięcie ultrafioletowe, czyli najmniejsza dopuszczalna długość. Zwykle utożsamia się ją z długością Plancka, czyli około 10⁻³⁵ metra, choć jest to tylko przypuszczenie. Ponieważ liczy się wyłącznie stosunek najmniejszej do największej długości krawędzi, sprawdzali jego różne wartości: od klocków o bardzo zróżnicowanych krawędziach po takie, w których wszystkie krawędzie są niemal równe.
Z około 100 tysięcy takich klocków budowali trzy rodzaje układów:
- czterowymiarową kulę z brzegiem;
- czterowymiarową sferę bez brzegu;
- zbiór luźnych, niepołączonych klocków służący do porównania.
Krawędzie traktowali jako przestrzenne, czasowe lub mieszankę obu rodzajów. Łącznie wykonali ponad 20 miliardów obliczeń sygnatury.
Zabawy z fizyką
Co z tego wyszło? Gdy wszystkie krawędzie traktowano jako przestrzenne, a ich zakres dobrano odpowiednio (krawędzie od jednej do pięciu długości Plancka), około 85 procent klocków miało geometrię z trzema wymiarami przestrzeni i jednym czasu, czyli taką jak w naszym Wszechświecie. Około 6 procent miało cztery wymiary przestrzenne i żadnego czasowego, a około 8 procent miało po dwa wymiary przestrzeni i dwa wymiary czasu. Wynik jest czuły na dobór zakresu: gdy wszystkie długości były do siebie bardzo zbliżone, wygrywała geometria czysto euklidesowa, czyli świat bez czasu.
Największa niespodzianka? Sygnatura Minkowskiego pojawiała się, mimo że wszystkie krawędzie były przestrzenne: ich losowe długości często pasowały do siebie dopiero w geometrii uwzględniającej czas. Trzeba jednak pamiętać, że wyłączne użycie krawędzi przestrzennych to założenie wejściowe, a nie wynik symulacji. Gdy krawędzie były wyłącznie czasowe, wychodził lustrzany obraz: dominowała sygnatura (1,3), czyli trzy wymiary czasu i jeden przestrzenny. To jednak tylko kwestia konwencji zapisu znaku w metryce – fizycznie jest to ten sam świat co (3,1). Naprawdę odmienny wynik dało dopiero mieszanie krawędzi przestrzennych i czasowych: w 72–81 procent klocków wychodziły wtedy dwa wymiary czasu i dwa przestrzenne, czego w naszym Wszechświecie nie obserwujemy. Autorzy wnioskują stąd, że model nie powinien dopuszczać obu rodzajów krawędzi naraz.
Globalny kształt układu (topologia i sposób podziału na klocki) praktycznie nie miał wpływu na wynik. Może to sugerować, że sygnaturę określają długości krawędzi pojedynczego klocka, a nie to, jak klocki są ze sobą połączone. Możliwe też, że przy tak dużej liczbie klocków korelacje między sąsiadami uśredniały się lub były mniejsze niż naturalne wahania statystyczne, więc pozostawały niewidoczne.
Warto zaznaczyć, że to tylko model opisany w pracy opublikowanej jako preprint. Ale praca nie wyprowadza sygnatury znikąd: liczby takie jak 85 procent dotyczą ściśle określonych założeń (wyłącznie krawędzie przestrzenne, odpowiednio dobrany zakres długości) i nie oznaczają, że czasoprzestrzeń w 85 procentach Wszechświata jest taka jak nasza. Sami autorzy podkreślają, że wynik wskazuje raczej, jakie cechy powinien mieć model grawitacji kwantowej, by z dużym prawdopodobieństwem dawać sygnaturę Minkowskiego, a uwzględnienie dynamiki może ten rezultat zarówno wzmocnić, jak i osłabić.
Źródło: Arxiv
