Starożytni Rzymianie pozostawili po sobie bogatą spuściznę. Mówiąc o osiągnięciach Rzymu, najczęściej jednym tchem wymienia się rzymskie prawo, drogi, architekturę i alfabet łaciński. W tym miejscu nie można jednak pominąć także rzymskich cyfr.

O ile system rzymski wyszedł z powszechnego użytku już u schyłku średniowiecza, to w pewnych sytuacjach jest używany do dziś. Cyfry rzymskie i rzymskie liczby zdobią cyferblaty, oznacza się nimi numery szkół (ponadpodstawowych), klas i pięter, a w instytucjach publicznych – numery wydziałów. Nadal są powszechnie stosowane do numeracji stuleci, pojawiają się też w imionach papieży i koronowanych głów.

Dlaczego więc znaków rzymskich nie stosuje się już w matematyce? Zanim odpowiemy na to pytanie, najpierw zastanówmy się, jak i kiedy powstał rzymski system zapisu cyfr i liczb.

Kiedy i jak powstał rzymski system liczenia?

Mówiąc o liczbach rzymskich, na myśli trzeba mieć addytywny system liczbowy (czyli taki, w którym liczby tworzy się w wyniku dodawania kolejnych symboli), na który składa się siedem znaków podstawowych. W systemie rzymskim nie występuje cyfra 0. Nie pozwala też na zapis ułamków.

W tym miejscu należy jednak wspomnieć, że starożytni Rzymianie częściowo radzili sobie z tym problemem. Podstawą ułamków była wówczas uncia, czyli 1/12. Jedna uncia była oznaczana kropką, zatem 1/6 to dwie kropki, a 1/3 – cztery kropki. Ułamek 1/2 był oznaczany literą S, będącą skrótowcem od słowa semis, czyli „pół”.

Rzymianie opracowali swój system liczbowy w V w. p.n.e. Starożytne państwo dynamicznie poszerzało swoje granice i rozwijało gospodarkę. To wymusiło konieczność prowadzenia coraz bardziej skomplikowanych i obszernych rachunków, a to z kolei wymagało wdrożenia logicznego systemu liczbowego, który umożliwiłby szybkie zapisywanie nawet dużych liczb. W tym miejscu należy jednak wspomnieć, że liczby rzymskie nie są autorskim dziełem Rzymian.

Historia cyfr rzymskich

Cywilizacja rozwijająca się w basenie Morza Śródziemnego przejęła tę metodę zapisu od Etrusków – rozwiniętego ludu, który zamieszkiwał ziemie między rzekami Arno i Tyber. Etruskowie oznaczali liczby, wykonując pionowe żłobienia na drewnianych tabliczkach i w ten sposób rejestrowali ilość towarów czy żywego inwentarza.  

Nie można jednak powiedzieć, że Rzymianie po prostu powielili etruski system. Cywilizacja rzymska była bardziej rozwinięta, a co za tym idzie – przedstawiała potrzebę wykonywania bardziej złożonych rachunków, obejmujących większe liczby. Do pięciu znaków etruskich dodali kolejne dwa, a wszystkie symbole składające się na „nowy” system liczbowy bardziej zaczęły przypominać litery łacińskiego alfabetu.

Znaki rzymskie nie zniknęły wraz z upadkiem imperium. Kraje Europy łacińskiej używały ich aż do końca średniowiecza, przy czym należy podkreślić, że wycofanie systemu rzymskiego nie nastąpiło nagle. Wraz z nastaniem zmierzchu tej epoki, liczby rzymskie zaczęły być wypierane przez arabskie, który były łatwiejsze w użyciu i umożliwiały bezproblemowe wykonywanie dowolnych obliczeń, nawet przy użyciu bardzo dużych wartości. Ze znaków rzymskich wciąż jednak korzystano w wielu sytuacjach, zresztą podobnie jak dziś.

Przelicznik podstawowych liczb rzymskich na arabskie

Na rzymski system liczbowy składa się siedem podstawowych znaków:

  • I = 1,
  • V = 5,
  • X = 10,
  • L = 50,
  • C = 100,
  • D = 500,
  • M = 1000.

Jak widać, dwa znaki w systemie należą do jedności, dwa do dziesiątek, dwa do setek i jeden do tysięcy.

Przelicznik pełnych liczb rzymskich na arabskie

W celu stworzenia innych cyfr i liczb, trzeba zestawić ze sobą poszczególne znaki. Powstałe w ten sposób wartości należy odczytywać jako sumę wszystkich symboli. Wypada jednak podkreślić, że współcześnie obok siebie umieszcza się maksymalnie trzy takie same cyfry i liczby rzymskie:

  • II = 2,
  • III = 3,
  • XX = 20,
  • XXX = 30,
  • CC = 200,
  • CCC = 300,
  • MM = 2000,
  • MMM = 3000.

Łatwo można zauważyć, że w zapisie w systemie rzymskim nie występuje wielokrotność cyfry V. Zapis VVV byłby nielogiczny, skoro taki sam efekt można uzyskać poprzez zestawienie dziesiątki z piątką. To samo dotyczy innych liczb, jeżeli w podstawowym 7-znakowym zapisie występuje liczba dwukrotnie od nich większa: L i D. Zatem:

  • XV = 15,
  • CL = 150,
  • MD = 1500.

Łatwo można zauważyć, że większa wartość jest w tym zapisie liczbą podstawową, do której dodaje się mniejszą. Trzeba jednak pamiętać, że inaczej wygląda przeliczanie wszystkich cyfr i liczb, w których mniejsza wartość stoi przed większą. W takim przypadku, pierwszy symbol należy traktować jako ujemny:

  • IV = 4 (-1 + 5),
  • IX = 9 (-1 + 10),
  • XL = 40 (-10 + 50),
  • XC = 90 (-10 + 100),
  • CD = 400 (-100 + 500),
  • CM = 900 (-100 + 1000).

Stosując te zasady, bez problemu można zapisać w systemie rzymskim wszystkie cyfry z przedziału jedności i pełne liczby z przedziału dziesiątek, setek i tysięcy.

Jedności:

  • I = 1,
  • II = 2,
  • III = 3,
  • IV = 4,
  • V = 5,
  • VI = 6,
  • VII = 7,
  • VIII = 8,
  • IX = 9,

Pełne dziesiątki:

  • X = 10,
  • XX = 20,
  • XXX = 30,
  • XL = 40,
  • L = 50,
  • LX = 60,
  • LXX = 70,
  • LXXX = 80,
  • XC = 90.

Pełne setki:

  • C = 100,
  • CC = 200,
  • CCC = 300,
  • CD = 400,
  • D = 500,
  • DC = 600,
  • DCC = 700,
  • DCCC = 800,
  • CM = 900.

Pełne tysiące:

  • M = 1000,
  • MM = 2000,
  • MMM = 3000.

Dla uproszczenia, cyfry i liczby mniejsze niż pięć lub wielokrotność piątki tworzymy poprzez zestawienie mniejszej wartości ujemnej z większą dodatnią, a większe niż pięć lub wielokrotność piątki – poprzez zsumowanie większej i mniejszej wartości.

Jak zapisywać pozostałe liczby w systemie rzymskim?

Korzystając z tych zasad, bez problemu można stworzyć pozostałe liczby. Zestawiając odpowiednie znaki w odpowiedniej kolejności, łatwo uzyskamy niemal dowolną liczbę. Przykładowo:

  • XI = 11 (10 + 1),
  • XXII = 22 (10 + 10 + 1 + 1),
  • XIX = 19 [10 + (-1+10)],
  • XXXIX = 39 [10 + 10 + 10 + (-1 +10)].

Na razie zapis i odczyt rzymskich liczb jest jasny i klarowny, ale wraz ze wzrostem wartości liczbowej system starożytnych Rzymian staje się dość skomplikowany. Dla przykładu, rok, w którym polsko-litewskie siły rozgromiły pod Grunwaldem wojska wielkiego mistrza krzyżackiego Ulricha von Jungingena (1410), w systemie rzymskim należy zapisać następująco: MCDX, czyli [1000 + (-100 + 500) +10]. Wygląda skomplikowanie? To jeszcze nic. Za kolejny przykład weźmy rok koronacji króla Kazimierza Wielkiego (1477). Rzymski zapis tej daty to MCDLXXVII, czyli [1000 + (-100 + 500) + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1]. Już prosta arytmetyka sprawia niemałe trudności w systemie rzymskim, a teraz wyobraźmy sobie działania wykonywane na naprawdę dużych liczbach. 

Trzeba wspomnieć, że kanoniczny system rzymski nie pozwala zapisać liczby większej niż 3999 (MMMCMXCIX). Starożytni Rzymianie poradzili sobie jednak z tym problemem, wprowadzając mnożniki 100, 1000, 100000 i 1000000. 

Żeby zapisać liczbę pomnożoną przez 100, wystarczy ująć ją między dwoma pionowymi treskami, np. |XL| = 4000. Pozioma kreska nad liczbą mnoży ją razy 1000. Dwie pionowe kreski i nadkreślenie to mnożnik 100000, z kolei podkreślenie oznacza mnożnik milion.