O tym, że liczby pierwsze ciągną się w nieskończoność, wiedzieli już starożytni Grecy. Mimo że wiedza na ich temat sięga antyku, nadal nie udało się rozwikłać wielu związanych z nimi zagadek. Najważniejszym wyzwaniem dla współczesnej matematyki jest określenie sensu ich rozkładu, ale żeby złamać kod, który skrywają liczby pierwsze, najpierw trzeba udowodnić hipotezę Riemanna.
Hipoteza Riemanna a liczby pierwsze
Matematyka to nauka, w której niepodzielnie rządzi porządek. Wśród liczb pojawiają się schematy, które można wyrazić konkretnymi wzorami. Wystarczy spojrzeć na pierwsze wyrazy ciągu Fibonacciego (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...), by dostrzec, że każdy kolejny jest sumą dwóch poprzednich. Jeżeli jednak we wspólnym zbiorze znajdą się liczby pierwsze, nie sposób zaobserwować żadnej prawidłowości ani zależności. Częstotliwość ich występowania wydaje się chaotyczna, całkowicie przypadkowa. A przecież to właśnie liczby pierwsze stanowią fundament, na którym opiera się cała matematyka. Czy zatem należy uznać, że porządek wyłania się z chaosu?
Wielu genialnych matematyków twierdziło, że ów chaos jest tylko pozorny, a pod maską przypadku kryje się konkretny porządek. Nad naturą liczb pierwszych pochylał się między innymi Bernhard Riemann. W listopadzie 1859 roku przedstawił hipotezę dotyczącą funkcji dzeta (w artykule zatytułowanym „O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości”), która ma być rozwiązaniem zagadki trapiącej matematyków.
Bernhard Riemann / fot. Wikimedia Commons, public domain
Funkcję dzeta jako pierwszy zdefiniował Leonhard Euler, jednak szwajcarski matematyk rozważał jej wartość jedynie dla zmiennych rzeczywistych. Dopiero Riemann poszerzył jego definicję o wszystkie liczby zespolone, przeprowadził dowód meromorficzności funkcji, udowodnił równanie funkcyjne, które opisało funkcję na całej płaszczyźnie zespolonej i wykazał istnienie zależności pomiędzy rozmieszczeniem jej miejsc zerowych a liczbą liczb pierwszych.
Czym jest hipoteza Riemanna i jakie są jej podstawowe założenia?
W swojej hipotezie Bernhard Riemann stwierdził, że wszystkie nietrywialne (czyli nierzeczywiste) zera funkcji dzeta mają część rzeczywistą równą 1/2. Niemiecki matematyk wyznaczył cztery miejsca zerowe funkcji i zauważył, że wszystkie leżą na jednej półprostej, przecinającej oś poziomą w obszarze wartości 1/2. To tzw. linia krytyczna.
Riemann uznał, że wszystkie nietrywialne zera funkcji dzeta powinny leżeć na linii krytycznej. Mówimy tu zatem o pierwszej prawidłowości zadającej kłam chaotycznej naturze liczb pierwszych. W tym miejscu nasuwa się jednak istotne pytanie: dlaczego sformułowane przez Riemanna wnioski określa się mianem hipotezy, nie teorii? Ponieważ, w ujęciu matematycznym, wyliczenie czterech miejsc zerowych nie pozwala stwierdzić, że od przedstawionej reguły nie istnieją żadne wyjątki.
Praca Riemanna nie stanowi zatem ostatecznego dowodu, ale pozwala przypuszczać, że dystrybucją liczb pierwszych rzeczywiście nie rządzi przypadek. Nic więc dziwnego, że matematycy nie ustają w pracy nad udowodnieniem prawidłowości jej założeń.
Próby udowodnienia hipotezy
Z liczbami pierwszymi i hipotezą Riemanna mierzyło się wielu geniuszy. Na liście matematyków, którzy podjęli się przeprowadzenia dowodu hipotezy sformułowanej w 1859 roku, znalazły się nazwiska najwybitniejszych naukowców. Godfrey Hardy, John Littlewood, Atle Selberg, John Nash, Louis de Branges de Bourcia – każdy z nich podjął wyzwanie „przeklętych liczb”.
Żadnemu nie udało się przedstawić przekonywującego dowodu, że pod pozornym chaosem w rzeczywistości ukrywa się głębszy sens. Niektórym problem liczb pierwszych dosłownie złamał karierę, a mimo to wciąż nie brakuje śmiałków chcących zmierzyć się z tym problemem.
Już w 1900 roku hipoteza Riemanna była zaliczana do najważniejszych wyzwań matematyki. Na Międzynarodowym Kongresie Matematyków David Hilbert przedstawił 23 kluczowe problemy, wymagające rozwiązania. Hipoteza funkcji dzeta znalazła się na ósmej pozycji tej listy. Wielu próbowało znaleźć dowód, ale każdy poległ.
100 lat Później Instytut Matematyczny Claya ogłosił listę zagadnień matematycznych, za rozwiązanie których przewidziana jest nagroda. Nie byle jaka, bo wynosząca okrągły milion dolarów. Wśród siedmiu tzw. problemów milenijnych znalazła się tylko jedna pozycja z listy Hilberta – hipoteza Riemanna.
Do 2024 roku rozwiązania doczekał się tylko jeden problem z listy milenijnej: hipoteza Poincarégo. W 2006 roku dokonał tego rosyjski matematyk Grigorij Perelman. Pozostałe pozycje, w tym hipoteza Riemanna, wciąż na niej figurują.
Czy hipoteza Riemanna została udowodniona?
Tytaniczną pracę w zakresie udowodnienia hipotezy z 1859 roku wykonał wspomniany wcześniej Louis de Branges de Bourcia. Francusko-amerykański matematyk podporządkował całą swoją karierę zrozumieniu sensu ukrytego w liczbach pierwszych. Wielokrotnie przedstawiał dowody hipotezy Riemanna (ostatni raz w 2014 roku), ale każdy został odrzucony.
Jako ostatni dowód zaprezentował Michael Atiyah. W 2018 roku ogłosił, że przy okazji pracy nad wyliczeniem stałej struktury subtelnej, udało mu się potwierdzić hipotezę funkcji dzeta. Brytyjski matematyk oparł swój dowód na pracach Diraca, Hirzebrucha i von Neumanna. Gdy ogłosił, że potwierdził hipotezę Riemanna z wykorzystaniem radykalnie nowego podejścia, całe środowisko naukowe wstrzymało oddech. Niestety, wygląda na to, że problem sformułowany przez Bernharda Riemanna nadal będzie spędzał matematykom sen z powiek. Dowód Atiyaha został odrzucony, tak jak każdy poprzedni.
A może oznacza to, że hipotezy funkcji dzeta po prostu nie da się obronić? Otóż, nie, bo o ile do tej pory nikomu nie udało się przeprowadzić dowodu, to nikt też nie zdołał obalić twierdzenia Riemanna.
